دی ہوئی شکل میں AB، CD اور PQ خط BD پر عمود ہیں۔ اگر AB = x، CD = y اور PQ = z ہو، تو ثابت کیجیے کہ: 1⁄x + 1⁄y = 1⁄z

سوال:

دی ہوئی شکل میں AB، CD اور PQ خط BD پر عمود ہیں۔ اگر AB = x، CD = y اور PQ = z ہو، تو ثابت کیجیے کہ:

¹⁄_x + ¹⁄_y = ¹⁄_z

ثبوت:

دی گئی معلومات:

• AB ⊥ BD
• PQ ⊥ BD
• CD ⊥ BD

چونکہ یہ تینوں قطعات ایک ہی خط BD پر عمود ہیں، لہٰذا:

AB ∥ PQ ∥ CD

---

مرحلہ 1: مثلث ΔABD اور مثلث ΔPQD میں

• ∠B = ∠PQD = 90° (قائمہ زاویہ)
• ∠D = ∠D (مشترک زاویہ)

لہٰذا، AA مشابہت کے اصول کی رو سے:

ΔABD ∼ ΔPQD

جب دو مثلث مشابہ ہوں تو متناظر اضلاع متناسب ہوتے ہیں:

^PQ⁄_AB = ^QD⁄_BD

قیمتیں درج کرنے پر (PQ = z اور AB = x):

^z⁄_x = ^QD⁄_BD   ———  (1)

---

مرحلہ 2: مثلث ΔCBD اور مثلث ΔPBQ میں

• ∠D = ∠PQB = 90° (قائمہ زاویہ)
• ∠B = ∠B (مشترک زاویہ)

لہٰذا، AA مشابہت کے اصول کی رو سے:

ΔCBD ∼ ΔPBQ

متناظر اضلاع کا تناسب لینے پر:

^PQ⁄_CD = ^BQ⁄_BD

قیمتیں درج کرنے پر (PQ = z اور CD = y):

^z⁄_y = ^BQ⁄_BD   ———  (2)

---

مرحلہ 3: مساوات (1) اور مساوات (2) کو جمع کرنے پر

^z⁄_x + ^z⁄_y = ^QD⁄_BD + ^BQ⁄_BD

z × (¹⁄_x + ¹⁄_y) = ^{(QD + BQ)}⁄_BD

چونکہ شکل سے واضح ہے کہ QD + BQ = BD ہے، اس لیے:

z × (¹⁄_x + ¹⁄_y) = ^BD⁄_BD

z × (¹⁄_x + ¹⁄_y) = 1

¹⁄_x + ¹⁄_y = ¹⁄_z

ثابت ہوا۔

📢 Join Our Official Groups

📱 WhatsApp Group
Join Now 📗 Facebook
Follow Now 🐦 Twitter (X)
Follow Now ✈ Telegram Channel
Join Now